Вписанная окружность

ГеометрияГеометрия

Вписанная окружность

Вписанная в выпуклый многоугольник окружность-это окружность, которая касается всех сторон данного многоугольника, а центр данной окружности находится внутри данной фигуры.
Общие свойства всех фигур,  описанных около окружности:

Центр вписанной окружности находится на точке пересечения биссектрис.

 
 ∠EBO=∠MBO;
∠EAO=∠OAK;
∠KCO=∠OCM;

Вершина равноудалена от точек касания, находящихся на сторонах, содержащих данную вершину.


 
BE=BM;
AE=AK;
CK=CM;

Радиус, выпущенный в точку касания, перпендикулярен касательной

.

 EO⊥AB;
OM⊥AC;
OK⊥BC;

Свойства четырехугольника, описанного около окружности:

Суммы длин противоположных  сторон четырехугольника, описанного около окружности,  равны.


AB+CD=AD+BC;


Формулы для нахождения радиуса:

Общая формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник: 

,где a-сторона многоугольника,  N-количество сторон многоугольника.

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник:

, где S-площадь треугольника, а p-полупериметр треугольника.

Вывод формулы:

Дано:

EO=MO=KO=r;

Доказать:


 

Доказательство:

S∆ABC=S∆AOB+S∆AOC+S∆BOC;

S∆ABC=1/2 AB×OE+1/2 AC×OM+1/2 BC×OK;

S∆ABC=1/2 r(AB+AC+BC);

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник:


, где p-полупериметр треугольника, а a,b,c-стороны треугольника.

Вывод формулы:

Используя формулу Герона и формулу r=S/P, имеем:

Формула, для нахождения радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник:

, где r-радиус вписанной окружности, a- боковая сторона треугольника, b-основание треугольника.

Вывод формулы:

Зная, что   и что в равнобедренном треугольнике b=c и 

, имеем:


Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник: 


,где -радиус вписанной окружности, a-сторона треугольника.

Вывод формулы:

Зная, что   и что в равностороннем треугольнике a=b=c и 

p=(a+b+c)/2, имеем:


Формула, для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:


,где r-радиус вписанной окружности, a и b- катеты, с- гипотенуза.

Вывод формулы:

Дано:

ABC- прямоугольный треугольник;

OE=OK=OM=r;

 

Доказательство:

OM⊥AC,по свойству радиуса, выпущенного в точку касания ,=>∠OMC-прямой.

OK⊥BC,по свойству радиуса, выпущенного в точку касания,=> ∠OKC-прямой.

OK=OM

Принимая во внимание 3 предыдущих утверждения, можем сказать, что OMCK-квадрат.

AM=AC-r;

AM=AE, по свойству касательных, выпущенных из одной точки к окружности.

AE=AC-r;

BK=BC-r;

BK=BE, по свойству касательных, выпущенных из одной точки к окружности.

BE=BC-r;                                                                                                                                              

AB=AE+BE;

AB=AC-r+ BC-r;

AB=AC+BC-2r;

,где AC и BC –катеты,а AB-гипотенуза.



Формула для нахождения радиуса окружности,  вписанной в квадрат:

,где r-радиус вписанной окружности, a-сторона квадрата.

Вывод формулы:

ДАНО:

ABCD- квадрат;

OK=OE=OM=ON=r;

 

Доказательство:

OK⊥BC,по свойству радиуса, выпущенного в точку касания, и OK=OE=>OEBK- квадрат.

BK=OK=KC=r;

BC=BK+KC;

BC=2r; 

,где BC- сторона квадрата.

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в равнобедренную трапецию:


, где r-радиус вписанной окружности,a и b- основания трапеции. 

Вывод формулы:

Дано:

ABCD- трапеция;

EK-средняя линия;

YX=2r;


Доказательство:

 ∆ABM-прямоугольный.


AD=AM+MN+ND;

AM=ND;

MN=BC;

AD=2AM+BC;

AM=(AD-BC)/2;

AB=EK,по свойству средней линии трапеции;

EK=(AD+BC)/2;

AB=(AD+BC)/2;





Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный шестиугольник:


, где r-радиус вписанной окружности,a-сторона шестиугольника.

Вывод формулы:

Для доказательства будем использовать формулу:


Автор статьи: Исмаилов Илькин Илхамович

Редактор: Гаврилина Анна Викторовна

Вернутся к темам