Обратные тригонометрические функции

АлгебраАлгебра

Обратные тригонометрические функции

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции—это математические функции, являющиеся обратными тригонометрическим функциям.

Функция y=arcsin(x)

Арксинусом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], синус которого равен α.
График функции

 
Функция у= sin⁡(x) на отрезке [-π/2;π/2], строго возрастает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию , строго возрастающую и непрерывную.
Функция , обратная для функции у= sin⁡(x), где х ∈[-π/2;π/2], называется арксинусом и обозначается  y=arcsin(x),где х∈[-1;1].
Итак, согласно определению обратной  функции , областью определения арксинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений  - отрезок [-π/2;π/2].
Отметим , что график функцииy=arcsin(x),где х ∈[-1;1].симметричен графику функции у= sin(⁡x), где х∈[-π/2;π/2],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcsin(x).

Пример№1.

Найти arcsin(1/2)?

Так как область значений функцииarcsin(x)принадлежит промежутку [-π/2;π/2], то подходит только значениеπ/6 .Следовательноarcsin(1/2) =π/6.
Ответ:π/6

  Пример №2.
Найти arcsin(-(√3)/2)?

Так как область значений arcsin(x) х ∈[-π/2;π/2], то подходит только значение -π/3.Следовательноarcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Функция y=arccos(x)

Арккосинусом числа α называют такое число α из промежутка [0;π], косинус которого равен α.

График функции   

Функция у= cos(⁡x) на отрезке [0;π], строго убывает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию , строго убывающую и непрерывную.
Функция , обратная для функции у= cos⁡x, где х ∈[0;π], называется арккосинусом и обозначается  y=arccos(x),где х ∈[-1;1].
Итак, согласно определению обратной функции , областью определения арккосинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений  - отрезок [0;π].
Отметим , что график функцииy=arccos(x),где х ∈[-1;1] симметричен графику функции у= cos(⁡x), где х ∈[0;π],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arccos(x).

Пример №3.

Найти arccos(1/2)?


Так как область значений arccos(x) х∈[0;π], то подходит только значение π/3.Следовательно arccos(1/2) =π/3.
Пример №4.
Найти arccos(-(√2)/2)?

Так как область значений функции arccos(x) принадлежит промежутку [0;π], то подходит только значение 3π/4.Следовательноarccos(-(√2)/2) =3π/4.

Ответ: 3π/4
 

Функция y=arctg(x)

Арктангенсом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], тангенс которого равен α.

График функции
 



Функция тангенс непрерывная и строго возрастающая на интервале(-π/2;π/2); следовательно, она имеет обратную функцию , которая непрерывна и строго возрастает.
Функция , обратная для функции у= tg⁡(x), где х∈(-π/2;π/2); называется арктангенсом и обозначается  y=arctg(x),где х∈R.
Итак, согласно определению обратной  функции , областью определения арктангенса является интервал(-∞;+∞), а множеством значений  - интервал 
(-π/2;π/2).
Отметим , что график функции y=arctg(x),где х∈R, симметричен графику функции у= tg⁡x, где х ∈ (-π/2;π/2), относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arctg(x).

Пример№5?

Найти arctg((√3)/3).

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение π/6 .Следовательноarctg((√3)/3) =π/6.
Пример№6.
Найти arctg(-1)?

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение -π/4 .Следовательноarctg(-1) = - π/4.

Функция y=arcctg(x)


Арккотангенсом числа α называют такое число α из промежутка (0;π), котангенс которого равен α.

График функции

На интервале   (0;π),функция котангенс строго убывает; кроме того,она непрерывна в каждой точке этого интервала; следовательно, на интервале    (0;π), эта функция имеет обратную функцию, которая является строго убывающей и непрерывной.
Функция , обратная для функции у=ctg(x), где х ∈(0;π), называется арккотангенсом и обозначается  y=arcctg(x),где х∈R.
Итак, согласно определению обратной  функции , областью определения арккотангенса будет R,а множеством значений –интервал (0;π).График функции y=arcctg(x),где х∈R симметричен графику функции y=ctg(x) х∈(0;π),относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcctg(x).



Пример№7.
Найти arcctg((√3)/3)?


Так как область значений arcctg(x) х ∈(0;π), то подходит только значение π/3.Следовательно arccos((√3)/3) =π/3.

Пример№8.
Найти arcctg(-(√3)/3)?

Так как область значений arcctg(x) х∈(0;π), то подходит только значение 2π/3.Следовательноarccos(-(√3)/3) =2π/3.

Автор статьи: Чефранов Андрей Игоревич

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна


Вернутся к темам