Обратная пропорциональность

АлгебраАлгебра

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность-это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (аргумента) вызывает пропорциональное увеличение, либо уменьшение зависимой величины (функции).

или


где k-любое число,k≠0.

Допустим, мы пришли в магазин за тетрадями. Тетради на прилавке и ваши деньги в кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше вы купите тетрадей, тем меньше денег у вас останется.

Графиком функции является гипербола.

График функции при k>0

Гипербола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения и Yположительные, а вторая часть – в III четверти, где значения и Yотрицательные.

y(x)>0, при x∈(0;+∞)

y(x)<0, при x∈(0;+∞)

Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция убывает. => Функция , где K>0, убывает.

График функции при k<0

Гипербола состоит из 2 частей: одна находится во 2 четверти, где значения Xотрицательные, а значения Yположительные, а вторая часть – в 4 четверти, где значения Xположительные, а значения Yотрицательные.

Функция принимает положительное значение на промежутке (-∞;0),

Функция принимает отрицательные значения на промежутке (0;+∞).

Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция возрастает. => Функция , где K<0, Возрастает.

Свойства функции:

1)Область определения функции:

D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞).

2)Область значения функции:

E(f)=(-∞;0)(0;+∞).

3)Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет.

4)   - нечетная функция (т.к. ).

График симметричен относительно начала координат (0;0).

5) Функция не ограничена.

6)Функция не пересекает координатные оси (oX и oY).

Перемещение гиперболы

Если добавить константу а (где любое число)в знаменатель, в качестве слагаемого к  X, то произойдет перемещение гиперболы по оси оX (вместе с вертикальной асимптотой).

В таком случае уравнением функции станет:


Если у а стоит знак "+" (), то график функции передвигается по оси oX влево.

Для примера возьмем уравнение 


Гипербола смещена на 2 влево.

Если у а стоит знак "–" (), то график функции передвигается по оси oX вправо.

Для примера возьмем уравнение 

Гипербола смещена на 2 вправо.

Если добавить константу (где любое число) к дроби в качестве слагаемого, то произойдет перемещение гиперболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)

 

В таком случае уравнением функции станет: 

Если у стоит знак "+" (), то график функции передвигается по оси oY вверх.

Для примера возьмем уравнение 


 

Если у стоит знак "-" (), то график функции передвигается по оси oY вниз.

Для примера возьмем уравнение 


Гипербола смещена на 2 вниз.

 

Сужение и расширение графика относительно начала координат.

От коэффициента зависит, как будут вести себя ветви гиперболы, относительно начала координат.

Например, сравним  и .


Мы видим, что график функции  значительно уже графика функции   =>Чем больше коэффициент K , тем больше расстояние между ветвями гиперболы, относительно начала координат.

 

 

Сравним  и .

Мы видим, что график функции  значительно уже графика функции   =>Чем меньше коэффициент K , тем меньше расстояние между ветвями гиперболы, относительно начала координат.

Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Вернутся к темам