Функция прямой

АлгебраАлгебра

Функция прямой

Линейная функция – это функция вида

f(x)=k∙x+b

или

y(x)=k∙x+b,

где

x-аргумент (независимая переменная),

y- функция (зависимая переменная),

k и b- некоторые постоянные числа

k=const

b=const

Графиком линейной функции является прямая.

Для построения графика достаточно двух точек, т.к.  через две точки можно провести прямую и притом только одну.

Если k˃0, то график расположен в 1-й и 3-й координатных четвертях. Если k˂0, то график расположен в 2-й и 4-й координатных четвертях.

Число k называют угловым коэффициентом прямой графика функции y(x)=kx+b. Если k˃0, то угол наклона прямой y(x)= kx+b к положительному направлению Ох - острый; если k˂0, то этот угол- тупой.

Коэффициент b показывает точку пересечения графика с осью ОУ (0; b).

a)     k≠0; b=0,

тогда

y(x)=k∙x+0,

или

y(x)=k∙x

y(x)=k∙x-- частный случай типичной функции носит название прямая пропорциональность. Графиком является прямая, проходящая через начало координат, поэтому для построения этого графика достаточно одной точки.

График линейной функции

y=kx

Где коэффициент k = 3, следовательно

y=3x

График функции будет возрастать и иметь острый угол с осью Ох т.к. коэффициент k имеет знак плюс.


ООФ линейной функции 

X∈R

D(f)=R

ОЗФ линейной функции

Y∈R

E(f)=R

Кроме случая, где

Y(x)=b

Так же линейная функция вида

y=kx+b

Является функцией общего вида.

Б) Если k=0; b≠0,

тогда

y(x)=0∙x+b,

или

y(x)=b

В этом случае графиком является прямая параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;b).

В) Если k≠0; b≠0, то линейная функция имеет вид y(x)=k∙x+b.

Пример 1. Построить график функции y(x)= -2x+5

Х

-2

3

У

1

-1

 

    Пример 2. Найдём нули функции у=3х+1, у=0;

 

3х+1=0;

– нули функции.

Ответ:  или (;0)

Пример 3. Определить значение функции y=-x+3 для  x=1 и x=-1

Решение:

y(1)=-1+3=2

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Ответ: y_1=2; y_2=4.

 Пример 4. Определить координаты их точки пересечения или доказать, что графики не пересекаются. Пусть даны функции y1=10∙x-8 и y2=-3∙x+5.

Если графики функций пересекаются, то значение функций в этой точке равны

x1=x2

y1=y2

т.е.

10х-8=-3х+5;

13х=13;

x=1

Подставим х=1, то y1 (1)=10∙1-8=2.

Замечание. Подставить полученное значение аргумента можно и в функцию y2=-3∙x+5, тогда получим тот же самый ответ y2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- ордината точки пересечения.

(1;2)- точка пересечения графиков функций у=10х-8 и у=-3х+5.

Ответ: (1;2)

Пример 5.

Построить графики функций y1(x)= x+3 и y2(x)= x-1.

Решение:

Можно заметить, что коэффициент k=1  для обеих функций.

Из выше сказанного следует, что если коэффициенты линейной функции равны, то их графики в системе координат расположены параллельно.

Пример 6.

Построим два графика функции.

Первый график имеет формулу

y1= -2x+4

Второй график имеет формулу

у2=0,5х+4

х1

1

-3

y1

2

10

х2

2

-4

y2

5

2

 

 

 

В данном случае перед нами график двух прямых, пересекающихся в точке (0;4). Это значит, что коэффициент b, отвечающий за высоту подъёма графика над осью Ох, если х=0. Значит мы может полагать, что коэффициент bу обоих графиков равен 4.

Автор статьи: Глотов Василий Максимович

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Вернутся к темам