Функция

АлгебраАлгебра

Функция

Функция (функциональная зависимость)  - это зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

f(x)

или

y(x)

Аргумент   - независимая переменная.

 Функция -  зависимая переменная.

Существует 3 способа задания функции:

- аналитический(формулой);

- табличный;

-  графический.

При задании функции аналитическим способом надо помнить, если область определения не указана, то считается, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Примеры:

1.      

 y=x2+x+3

D(y):  x∈R

x  - любое число любое действительное число.

2.   

   

D(y):  x∈(-∞;5)∪(5;+∞) 

Если функция задаётся графиком:

График функции   y(x) - множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции.

Из определения следует, что не каждый график задаёт функцию.

Примеры:

1)

Данный график не задаёт функцию, так как переменной ставится в соответствие сразу несколько значений зависимой переменной .

2)


Данный график задаёт функцию, так как переменной ставится в соответствие единственное значений зависимой переменной .

Характеристики функции:

1.     Область определения функции (ООФ) - множество всех значений независимой переменной образуют.

D(f)или D(y)

2.     Область значения функции (ОЗФ) - множество значений зависимой переменной.

E(f)или E(y)

3.     Функции бывают возрастающие и убывающие.

Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то эта функция возрастает.

Если x1<x2 и у1<y2 , то функция монотонно возрастает.

 

Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то такую функцию называют убывающей.

Если  x1<x2 и у1>y2 , то функция монотонно убывает.


Но есть функции, которые на всей области определения ведут себя неоднозначно, т.е. на одном промежутке они убывают, на другом возрастают.

Пример:


 

Функция на промежутке (-∞; 0) убывает, а на промежутке [0; +∞) возрастает.

Рассмотрим обратно пропорциональную зависимость



Функция на промежутке (-∞;0) убывает, на промежутке (0; +∞) убывает.

4.      Нули функции – это значения независимой переменной, при которой значение функции равно 0.

Графически это точки, ординаты которых равны нулю (у=0), т.е. точки пересечения графика с осью Ох.


Функция f(x)=x2-4 пересекает ось Ox в точках (-2;0)  и (2;0).

5.     Чётность и нечётность функции. Функция общего вида.

Чётной функцией называется функция, для которой при любом значении х из области определения функции выполняется условие f(x)=f(-x).

График чётной функции симметричен относительно оси Оу.

Примеры чётной функции:

    f(x)=x2


f(x)=|x|


Нечётной функция называется, если для любого значения х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x).

Графики нечётных функций симметричны относительно точки отсчёта (0;0).

Пример нечётной функции:

      

f(x)=x

 

Но есть графики таких функций которые не являются ни чётными, ни нечётными – функции общего вида.

Графики таких функций не симметричны ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

Пример:

y(x)=x+2


6.     Точки экстремума функции

Точки экстремума - объединяющий термин для точек максимума и минимума, а значения функций в этих точках называются экстремумами функции. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.


В данном случае точкой экстремума параболы является точка (0;0), т.к. она является самой нижней точкой графика функции.


    Для функции f(x)=cosxточкой максимума является точка (0;1), т.к. она является самой верхней точкой графика функции, точки (-3;-1) и (3;-1) – точки минимумов, т.к. это самые нижние точки функции.

Автор статьи: Глотов Василий Максимович

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Вернутся к темам