Логарифмическое неравенство

АлгебраАлгебра

Логарифмическое неравенство

Для решения логарифмических неравенств, кроме базовых свойств логарифма (см. «Логарифмические уравнения», нам необходимо учитывать знак неравенства в зависимости от основания:

Если основание 0<a<1, то знак неравенства будет меняться при переходе от логарифмических неравенств к неравенствам их подлогарфмических выражений.

Если основание a>1 то знак неравенства останется прежним при переходе от логарифмических неравенств к неравенствам их подлогарфмических выражений.

Пример 1.

Решите неравенство:

Число 2 обозначает показатель степени, в который нужно возвести основание (6), чтобы получить число (х)

Знак неравенства остаётся прежним, т.к. :

Ответ:

Пример 2.

Решите неравенство:

Знак неравенстваменяется, т.к. 0<a<1:



Ответ: x>2

Пример 3.

Решите неравенство:

Замена:



Т.к. a>0, накладывается условие:


Обратная замена:


Знак неравенстваменяется, т.к. 0<a<1:




Ответ: x≥ -0.9919

Пример 4.

Решите неравенство:

О.Д.З.


Т.к. основание не известно, выражение разбивается на 2 решения:

1 решение:

Предположим, что основание a>1


Раскрываем разность кубов:


Замена:


 

2 решение:

Предположим, что основание 0<a<1:



Раскрываем разность кубов:

Замена:



Ответ: .

Пример 5.

Решите неравенство:


О.Д.З.




Т.к. основание не известно, выражение разбивается на 2 решения:

1 решение:

Предположим, что основание a>1

 






Не подходит по О.Д.З.

2 решение:

Предположим, что основание 0<a<1:




Объединив оба решения получаем:

Ответ: .

Пример 6.

Решите систему неравенств:


О.Д.З.



Перейдём к подлогарифмическим основаниям:

1 неравенство:


Знак неравенства меняется, т.к. 0<a<1:



2 неравенство:


Знак неравенства остаётся прежним, т.к. a>1:


Тогда общее решение выглядит так:


Ответ: .

Пример 7.

Решите систему неравенств:


О.Д.З.


1 неравенство:


По свойству логарифмов:


Знак неравенства остаётся прежним, т.к. a>1:



2 неравенство:


Представим 0 в виде:


Знак неравенства меняется, т.к. 0<a<1:



Тогда общее решение выглядит так:



Ответ: .

Пример 8.

Решите неравенство:


О.Д.З.



Нули числителя:



Ответ: 

Пример 9.

Решите неравенство:


Переносим 1 в левую часть:


Приводим к общему знаменателю:


О.Д.З.


Т.к. знаменатель всегда будет принимать положительное значение, работаем с числителем:


Преобразуем по формуле сложения логарифмов:

Знак неравенстваменяется, т.к. 0<a<1:



Ответ: x>899.

Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

Вернутся к темам