Решение показательных уравнений

АлгебраАлгебра

Решение показательных уравнений

Показательные уравнения – это уравнения вида

где

x -неизвестный показатель степени,

a и b– некоторые числа.

Примеры показательного уравнения:

А уравнения:

уже не будут являться показательными.

 

Рассмотрим примеры решения показательных уравнений:

Пример 1.
Найдите корень уравнения:


Приведем степени к одинаковому основанию, чтобы воспользоваться свойством степени с действительным показателем

 

Тогда можно будет убрать основание степени и перейти к равенству показателей.

Преобразуем левую часть уравнения:


Далее используем свойство степени 



Преобразуем правую часть уравнения:

Используем свойство степени 







Ответ: 4,5.

Пример 2.
Решите неравенство:


Разделим обе части уравнения на 


Замена:




Обратная замена:


Число обращается в 1, если его показатель равен 0

Ответ: x=0.

 

Пример 3.

Решите уравнение и найдите корни на заданном промежутке:


Приводим все слагаемые к одинаковому основанию:


Замена:



Ищем корни уравнения, путём подбора кратных свободному члену:

 – подходит, т.к. равенство выполняется.
 – подходит, т.к. равенство выполняется.
– подходит, т.к. равенство выполняется.
– не подходит, т.к. равенство не выполняется.

Обратная замена:

1) 

Число обращается в 1, если его показатель равен 0


2)

Не подходит, т.к. 

3)

Логарифмируем обе части по основанию 2:


Правая часть равна 1, т.к.


Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 


Отсюда:



 

Пример 4.

Решите уравнение:




Замена: , тогда






Обратная замена:

1 уравнение:


если основания чисел равны, то их показатели будут равны, то


2 уравнение:


Логарифмируем обе части по основанию 2:


Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 


Левая часть равна 2x, т.к. 


Отсюда:


 

Пример 5.

Решите уравнение:

Преобразуем левую часть:


Перемножаем степени по формуле: 


Упростим:  по формуле: 


Представим  в виде :


Замена:


Переведём дробь в неправильную:


Вычисляем корень из дискриминанта:

a-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Обратная замена:

Приводим к общему основанию:


Если 

Ответ: x=20.

Пример 6.

Решите уравнение:


О.Д.З.


Преобразуем левую часть по формуле: 


Замена:


Вычисляем корень из дискриминанта:



a2-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения


Приводим к общему основанию:


Если 


Возводим в квадрат обе части:


Ответ: x=9.

Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

Вернутся к темам