Показательная функция

АлгебраАлгебра

Показательная функция

1.Показательная функция – это функция вида у(х) =ах  , зависящая от показателя степени х, при постоянном значении основания степени a , где а > 0, a ≠ 0, xϵR (R – множество действительных чисел).

Рассмотрим график функции, если основание не будет удовлетворять условию: а>0
a) a < 0
Если a < 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
а = -2

х

-1

0

1

2

3

4

5

6

у

-0,5

1

-2

4

-8

16

-32

64

б) a = 0

Если а = 0 – функция у =  определена и имеет постоянное значение 0

x

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

y

0

0

0

0

0

0

0

0

0

 





в) а =1
Если а = 1 – функция у =  определена и имеет постоянное значение 1

x

-1

0

1

2

y

1

1

1

1



2. Рассмотрим подробнее показательную функцию:

0 <a< 1

x

-1

0

1

y

10

1

0,1

 



a > 1

x

-1

0

1

2

3

4

5

6

y

0,5

1

2

4

8

16

32

64




1. X ϵ R

Область определения функции (ООФ)

D(y) = R

2. y > 0

Область допустимых значений функции (ОДЗ)


3. Нули функции (у = 0)

Нет

4. Точки пересечения с осью ординат oy  (x = 0)

Y = 1

5. Возрастания, убывания функции

Если  , то функция f(x) возрастает
Если   , то функция f(x) убывает
Функция y= , при 0 <a< 1 монотонно убывает
Функция у = , при a> 1 монотонно возрастает
Это следует из свойств монотонности степени с действительным показателем.

6. Чётность, нечётность функции

Функция у =  не симметрична относительно оси 0у и относительно началу координат, следовательно не является ни чётной, ни нечётной. (Функция общего вида)

7. Функция у =  экстремумов не имеет

8. Свойства степени с действительным показателем:

Пусть а > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Тогда для xϵR; yϵR:


Свойства монотонности степени:

если , то
Например:






Если a> 0,  , то .
Показательная функция непрерывна в любой точке  ϵ R.

9. Относительное расположение фунцкции

Чем больше основание а, тем ближе к осям ох и оу

a > 1, a = 20

x

-1

0

1

2

3

y

0,05

1

20

400

8000



Чем меньше основание а, тем дальше от осей ох и оу

0 <a< 1

х

-1

0

1

2

3

4

5

у

1,25

1

0,8

0,64

0,512

0,4096

0,32768



Если а 0, то показательная функция принимает вид близкий к y = 0.
Если а 1, то дальше от осей ох и оу и график принимает вид близкий к функции у = 1.

Пример 1.
Построить график у =

Решение:

x

-2

-1

0

1

2

y

0,111111

0,333333

1

3

9




Основание степени больше 1, следовательно, функция строго возрастает

Пример 2.


Решение:

x

-2

-1

0

1

2

y

9

3

1

0,333333

0,111111


Основание степени меньше 1, следовательно функция сторого убывает

Пример 3.
Используя график, найти корни уравнения:



Решение:
Построим на одной координатной плоскости графики функции    и у = х + 3

x

-2

-1

0

1

2

4

2

1

0,5

0,25

1

2

3

4

5



Пример 4.
Какие значения аргумента допустимы для функции:


Решение:

Условия существования корня:

Условие существования дроби:


Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

Вернутся к темам